Чему равна сумма всех нечетных натуральных чисел

Сумма первых n нечетных чисел

Для последовательности первых n нечетных чисел (1, 3, 5, ..., 2n-1) сумма вычисляется по формуле:

S = n²

Пример вычисления

Сумма первых 5 нечетных чисел (1 + 3 + 5 + 7 + 9):

S = 5² = 25

Доказательство формулы

Формула может быть доказана несколькими способами:

Геометрическое доказательство

1. Представим 1 как единичный квадрат
2. Добавим 3 - три квадрата в форме буквы L вокруг первого
3. Добавим 5 - пять квадратов в следующем L-слое
4. Каждый новый нечетный слой формирует больший квадрат
5. Таким образом, сумма n нечетных чисел дает квадрат n×n

Сумма нечетных чисел в произвольном диапазоне

Для суммы нечетных чисел от a до b (где a и b нечетные, a ≤ b) формула имеет вид:

S = ((b + 1)/2)² - ((a - 1)/2)²

Пример вычисления

Сумма нечетных чисел от 7 до 15:

S = (16/2)² - (6/2)² = 8² - 3² = 64 - 9 = 55

Свойства сумм нечетных чисел

• Сумма n последовательных нечетных чисел равна n²
• Разность квадратов двух чисел равна сумме последовательности нечетных чисел между ними
• Каждое нечетное число можно представить как разность двух квадратов

Практическое применение

Историческая справка

Связь между суммой нечетных чисел и квадратами была известна еще древним грекам. Пифагорейцы обнаружили, что последовательное сложение нечетных чисел дает совершенные квадраты, что стало одним из первых открытий в теории чисел.

Понимание свойств сумм нечетных чисел важно для изучения более сложных математических концепций и находит применение в различных научных и инженерных дисциплинах.